Loading... # probability-and-statistics > 概率论与数理统计速记手册 ## 速记 | 检验量 | 条件 | 检验统计量 | $H_{0}$ | $H_{1}$ | 拒绝域 | 置信区间 | | ------------ | ------------- | ---------- | ------- | ------- | ------ | -------- | | $\mu$ | $\sigma$ 已知 | | | | | | | . | | | | | | | | . | | | | | | | | $\mu$ | $\sigma$ 未知 | | | | | | | . | | | | | | | | . | | | | | | | | $\sigma^{2}$ | $\mu$ 未知 | | | | | | | . | | | | | | | | . | | | | | | | ## 公式 1. $A_{m}^{n}=\frac{m!}{(m-n)!}$，$C_{m}^{n}=\frac{A_{m}^{n}}{A_{n}^{n}}=\frac{m!}{(m-n)!n!}$ 2. 随机事件和概率 1. $p(A\cup{B})=p(A)+p(B)-p(A\cap{B})$ 2. $p(A-B)=p(A)-p(AB)=p(A\bar{B})$ 3. 条件概率公式：$p(AB)=p(A|B)p(B)=p(B|A)p(A)$ 4. 若 $\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&p(A|B)=p(A)\\&p(B|A)=p(B)\end{aligned}\right.\end{equation}$，则 $p(AB)=p(A)p(B)$，$A$、$B$ 独立 5. 全概率公式，$p(A)=p(A|B_{1})p(B_{1})+p(A|B_{2})p(B_{2})+p(A|B_{3})p(B_{3})$ 6. 贝叶斯公式，$p(B_{2}|A)=\frac{p(AB_{2})}{p(A)}=\frac{p(A|B_{2})p(B_{2})}{p(A|B_{1})p(B_{1})+p(A|B_{2})p(B_{2})+p(A|B_{3})p(B_{3})}$ 3. 随机变量的独立性：若离散型随机变量 $X$、$Y$ 独立，则关于 $X$ 与 $Y$ 的联合分布律各行（列）成比例 4. 期望、方差、协方差 1. 期望；离散型，$EX=\Sigma_{i=1}^{+\infty}X_{i}\cdot{P\{X=x_{i}}\}$；连续型，$EX=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot{f(x)}dx$ 2. 方差：$DX=E(X^{2})-(EX)^{2}$ 3. 期望与方差的性质 | 期望 | 方差 | | --------------------------------------- | -------------------------------------- | | $E(c)=c$ | $D(c)=0$ | | $E(cX)=cEX$ | $D(cX)=c^{2}DX$ | | $E(X\pm{Y})=EX\pm{EY}$ | $D(X\pm{Y})=DX+DY$，要求 $X$、$Y$ 独立 | | $E(XY)=EX\cdot{EY}$，要求 $X$、$Y$ 独立 | | 4. 协方差（Covariance）； 1. $Cov(X,Y)=E(XY)-EX\cdot{EY}$； 2. $D(X\pm{Y})=DX+DY\pm{2Cov(X,Y)}$，显然当 $X$、$Y$ 独立时，$D(X\pm{Y})=DX+DY$ 5. 相关系数； 1. $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$ 2. 若 $\rho_{XY}=0$，则称 $X$、$Y$ 不相关 5. 常用分布 | 分布 | 表示法 | 分布律或概率密度 | 数学期望 | 方差 | | ---------- | -------------------------- | ------------------------------------------------------------ | ------------------- | ---------------------------------------------- | | 0 - 1 分布 | | $P\{X=k\}=p^{k}(1-p)^{1-k}$，$k=0,1$ | $p$ | $p(1-p)$ | | 二项分布 | $X\sim{B(n,p)}$ | $P\{X=k\}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{1-k}$，$k=0,1,2,...,n$ | $np$ | $np(1-p)$ | | 泊松分布 | $X\sim{P(\lambda)}$ | $P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,...$ | $\lambda$ | $\lambda$ | | 几何分布 | $X\sim{G(p)}$ | $P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p$，$k=1,2,...$ | $\frac{1}{p}$ | $\frac{1-p}{p^{2}}$ | | 超几何分布 | | $P\{X=k\}=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}$ | $\frac{nM}{N}$ | $\frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1})$ | | 均匀分布 | $X\sim{U(a,b)}$ | $f(x)=\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{b-a}, &a<x<b\\&0,&others\end{aligned}\right.\end{equation}$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ | | 指数分布 | $X\sim{E(\lambda)}$ | $f(x)=\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&\lambda{e^{-\lambda{x}}}, &x>0\\&0,&x\leq0\end{aligned}\right.\end{equation}$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^{2}}$ | | 正态分布 | $X\sim{N(\mu,\sigma^{2})}$ | $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，$-\infty<x<+\infty$ | $\mu$ | $\sigma^{2}$ | 6. 正态分布 $X\sim{N(\mu,\sigma^{2})}\Rightarrow{\frac{X-\mu}{\sigma}\sim{N(0,1)}}$，$P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq{\frac{b-\mu}{\sigma}}\}=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})$，关键在于 $\leq$ 后的值 $$ \begin{align} P\{a<X<b\} &=P\{X\leq{b}\}-P\{X\leq{a}\} \\ &=P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq{\frac{b-\mu}{\sigma}}\}-P\{\frac{X-\mu}{\sigma}\leq{\frac{a-\mu}{\sigma}}\} \\ &=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \end{align} $$ 即将一个正态分布转换成标准正态分布，再用标准正态分布函数 $\Phi(X)$ 查表的方式解决问题 关于标准正态概率密度函数图形 $\Phi(X)$ 一些性质如下 1. 横轴是 $X$，纵轴是 $\phi(X)$，图像关于 $X=0$ 对称 2. $\Phi(-X)=1-\Phi(X)$ 3. $\Phi(0)=\frac{1}{2}$ 4. 若 $X\sim{N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})}$、$Y\sim{N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})}$，且 $X$、$Y$ 独立，则有 $aX\pm{bY}\sim{N(a\mu_{1}\pm{b\mu_{2}},a^{2}\mu_{1}^{2}\pm{b^{2}\mu_{2}^{2}})}$ 7. 大数定律、中心极限定理（转化为正态分布）、切比雪夫不等式 1. 大数定律；当 $n$ 充分大时，$\bar{X}=\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^{n}X_{i}$ 很可能接近于 $E(\bar{X})=\frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^{n}E(X_{i})$ 2. 中心极限定理；在 $X_{1},X_{2},...,X_{n},...$ 独立同分布的情况下，当 $n$ 充分大时，$\Sigma_{i=1}^{n}X_{i}$ 的值近似于 $N(nE(X_{i}),nD(X_{i}))$，也即期望和方差的 $n$ 倍；特别的，若 $Y\sim{B(n,p)}$，则当 $n$ 充分大时，$Y$ 的值近似于 $N(np,np(1-p))$ 3. 切比雪夫不等式 8. 抽样分布 1. 若 $x_{1}^{2},x_{2}^{2},...,x_{n}^{2}$ 独立且均服从 $N(0,1)$，则服从卡方分布：$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}\sim{\chi^{2}(n)}$ 2. 若 $X\sim{N(0,1)}$，$Y\sim{\chi^{2}(n)}$，且 $X$、$Y$ 独立，则有 $t$ 分布：$\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim{t(n)}$ 3. 若 $U\sim{\chi^{2}(n_{1})}$，$V\sim{\chi^{2}(n_{2})}$，且 $U$、$V$ 独立，则有 $F$ 分布：$\frac{U/n_{1}}{V/n_{2}}\sim{F(n_{1},n_{2})}$ 9. 矩估计与最大似然估计 1. 矩估计：计算 $EX=\bar{X}$，这是一个含 $\theta$ 的结果，化简得出 $\theta$ 值即为矩估计值 $\hat{\theta}$ 2. 最大似然估计：计算 $\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}P\{X=x_{i};\theta\}, &离散\\&L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta),&连续\end{aligned}\right.\end{equation}$，一般需要取对数运算 10. 置信区间 根据题目要求待估计什么参数，已知什么参数来选择，一般都是给正态分布区间 $N(\mu,\sigma^{2})$，置信度例 $0.95=1-\alpha$，则 $\frac{\alpha}{2}=0.025$ | 待估参数 | 其他参数 | 置信区间 | | ------------ | ----------------- | ------------------------------------------------------------ | | $\mu$ | $\sigma^{2}$ 已知 | $(\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\frac{\alpha}{2}})$ | | $\mu$ | $\sigma^{2}$ 未知 | $(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))$，其中 $S$ 是标准差 | | $\sigma^{2}$ | $\mu$ 未知 | $(\frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)},\frac{(n-1)S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)})$ | 11. 假设检验 1. 假设检验表 | 检验参数 | 其他参数 | 检验统计量 | $H_{0}$ | $H_{1}$ | 拒绝域 | | ------------ | ----------------- | -------------------------------------------- | ------------------------------ | ------------------------------ | ------------------------------------------------------------ | | $\mu$ | $\sigma^{2}$ 已知 | $U=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}$ | $\mu\leq\mu_{0}$ | $\mu>\mu_{0}$ | $u\geq{u_{\alpha}}$ | | | | | $\mu\geq\mu_{0}$ | $\mu<\mu_{0}$ | $u\leq{-u_{\alpha}}$ | | | | | $\mu=\mu_{0}$ | $\mu\neq\mu_{0}$ | $\lvert{u}\rvert>u_{\frac{\alpha}{2}}$ | | | $\sigma^{2}$ 未知 | $U=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S/\sqrt{n}}$ | $\mu\leq\mu_{0}$ | $\mu>\mu_{0}$ | $t\geq{t_{\alpha}(n-1)}$ | | | | | $\mu\geq\mu_{0}$ | $\mu<\mu_{0}$ | $t\leq{-t_{\alpha}(n-1)}$ | | | | | $\mu=\mu_{0}$ | $\mu\neq\mu_{0}$ | $\lvert{t}\rvert>t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ | | $\sigma^{2}$ | $\mu$ 未知 | $\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$ | $\sigma^{2}\leq\sigma_{0}^{2}$ | $\sigma^{2}>\sigma_{0}^{2}$ | $\chi^{2}\geq\chi_{\alpha}^{2}(n-1)$ | | | | | $\sigma^{2}\geq\sigma_{0}^{2}$ | $\sigma^{2}<\sigma_{0}^{2}$ | $\chi^{2}\leq\chi_{1-\alpha}^{2}(n-1)$ | | | | | $\sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}$ | $\sigma^{2}\neq\sigma_{0}^{2}$ | $\chi^{2}\geq\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)$ 或 $\chi^{2}\leq\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n-1)$ | 2. 两类错误；第一类错误：$H_{0}$ 为真，但拒绝 $H_{0}$；第二类错误：$H_{0}$ 为假，但接受 $H_{0}$； ## 例题 1. 设 $p(A\cup{B})=0.8$，$p(B)=0.4$，求 $p(A|\bar{B})$；...... $\frac{2}{3}$ 2. 条件概率例题； 1. 甲、乙独立地对同一目标射击一次，命中概率分别为 $0.6$、$0.5$，求至少一人射中的概率；...... $0.8$ 2. 甲、乙独立地对同一目标射击一次，命中概率分别为 $0.6$、$0.5$，现已知目标被命中，求是被甲射中的概率；...... $0.75$ 3. 甲、乙任选一人对同一目标射击一次，命中概率分别为 $0.6$、$0.5$，求目标被甲射中的概率；...... $0.3$ 4. 甲、乙任选一人对同一目标射击一次，命中概率分别为 $0.6$、$0.5$，现已知目标被命中，求是被甲射中的概率；...... $\frac{6}{11}$ 3. 标准正态分布例题；设 $X\sim{N(2,1)}$，$Y\sim{N(1,4)}$，且 $X$、$Y$ 独立，求 $P\{2X-Y>3\}$；...... $\frac{1}{2}$ 4. 中心极限定理；设 $Y\sim{B(100,0.2)}$，若 $Y$ 不大于 $a$ 的概率不小于 $\Phi(2)=0.977$，求 $a$；...... $28$ 5. 抽样分布；若有 $X\sim{t(n)}$，$n>1$，$Y=\frac{1}{x^{2}}$，则 $Y$ 是什么分布；...... $Y\sim{F(n,1)}$ 6. 矩估计与最大似然估计；设 $X$ 的概率密度为 $f(x;\theta)=\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&\theta{x^{-(\theta+1)}}, &x>1\\&0,&x\leq1\end{aligned}\right.\end{equation}$，$\theta>1$，其中 $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的样本，求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量；...... 矩估计量 $\hat{\theta}=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$，取对数得 $\ln{L(\theta)}=n\ln{\theta}-(\theta+1)\cdot\Sigma_{i=1}^{n}\ln{X_{i}}$，对 $\theta$ 求导取零点得最大似然估计量 $\hat{\theta}=\frac{n}{\Sigma_{i=1}^{n}\ln{X_{i}}}$ 7. 置信区间；$x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 为来自总体 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的样本，$\bar{x}=9.5$，$\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 $10.8$，求 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间；...... $\mu$ 和 $\sigma^{2}$ 都未知，则置信区间为 $(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1))=$，其中 $\bar{X}=9.5$、$\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=10.8$，则可得置信区间为 $(8.2,10.8)$ ## 脚手架 1. $\cap$ 2. $\cup$ 3. $\bar{A}$ 4. $=\underline{\hspace{3em}}$ 5. $\begin{equation}\left\{\begin{aligned}&A=0\\&B=0,\\\end{aligned}\right.\end{equation}$ 6. © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏